Oranim College Logo
  המחלקה למתמטיקה
  פיזיקה ומדעי המחשב


חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ב'

סמסטר חורף תשע"ח (2017-2018)

מרצה: ד"ר סמי זעפרני

עבודה 5 ובוחן 3 (משולבים)


בהצלחה!

פרטים מזהים

אנא הכנס את פרטיך המזהים.
בכדי לפשט את תהליך העיבוד, הקפד על שימוש בשפה האנגלית בלבד.

Name:  
ID:
Email:

שאלה 1: [6%]

מהו הקירוב של $\sin 1$ באמצעות פולינום טיילור מסדר $5$ (סביב הנקודה $x=0$)?
$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5}$
$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{24}$
$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$
$1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{8}$
$1 - \frac{1}{6} + \frac{1}{120}$

שאלה 2: [6%]

נתון הטור $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{3n-1}\quad$.
אם נסכם את עשרת האיברים הראשונים שלו, אז נקבל תוצאה הקרובה לסכומו המלא עד כדי שגיאה מקסימלית של
$\frac{1}{26}$
$\frac{1}{29}$
$\frac{1}{32}$
$\frac{1}{10}$
הטור מתבדר ולכן אין משמעות לשאלה

שאלה 3: [6%]

המקדם של האיבר $x^6$ בפיתוח של הפונקציה $f(x) = \sin(x^2)$ לטור טיילור סביב הנקודה $x=0$ הוא
$\frac{1}{6}$
$\frac{1}{120}$
$0$
$-\frac{1}{6}$
$1$

שאלה 4: [6%]

עבור אילו ערכים של $x$ הטור $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{\sqrt{n}}$ מתכנס?
$-3 < x < -1$
$-3\leq x < -1$
$-3\leq x \leq -1$
$-1\leq x < 1$
$-1\leq x \leq 1$

שאלה 5: [6%]

נתונה הפונקציה $f(x) = \ln(3-x)$.
אזי שלושת האיברים הראשונים של הפיתוח של $f(x)$ לטור טיילור סביב הנקודה $x=2$ הם
$-(x-2) + \frac{1}{2}(x-2)^2 - \frac{1}{3}(x-2)^3$
$-(x-2) - \frac{1}{2}(x-2)^2 - \frac{1}{3}(x-2)^3$
$(x-2) + (x-2)^2 + (x-2)^3$
$(x-2) + \frac{1}{2}(x-2)^2 + \frac{1}{3}(x-2)^3$
$(x-2) - \frac{1}{2}(x-2)^2 + \frac{1}{3}(x-2)^3$

שאלה 6: [6%]

נתון טור פונקציות $f(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{2n-1}}{2n-1}\quad$.
הערך של נגזרת הטור $f'(x)$ בנקודה $x=\frac{1}{2}$ הוא
$f'\left(\frac{1}{2}\right) = 0$
$f'\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}$
$f'\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{4}$
$f'\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{4}{5}$
הטור האינסופי $\quad f(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{2n-1}}{2n-1}\quad$ אינו גזיר בנקודה $x=\frac{1}{2}$

שאלה 7: [6%]

עבור אילו ערכים של $x$ טור החזקות $\quad\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n3^n}\quad$ מתכנס?
$-3 \leq x \leq 3$
$-3 < x < 3$
$-1 < x \leq 5$
$-1 \leq x \leq 5$
$-1 \leq x < 5$

שאלה 8: [6%]

נתונה הפונקציה $f(x) = \ln(3-x)$.
אזי שלושת האיברים הראשונים של הפיתוח של $f(x)$ לטור טיילור סביב הנקודה $x=2$ הם
$-(x-2) + \frac{1}{2}(x-2)^2 - \frac{1}{3}(x-2)^3$
$-(x-2) - \frac{1}{2}(x-2)^2 - \frac{1}{3}(x-2)^3$
$(x-2) + (x-2)^2 + (x-2)^3$
$(x-2) + \frac{1}{2}(x-2)^2 + \frac{1}{3}(x-2)^3$
$(x-2) - \frac{1}{2}(x-2)^2 + \frac{1}{3}(x-2)^3$

שאלה 9: [6%]

אם $\theta$ היא הזווית שבין ציר ה-$x$ לישר $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{6}$ אזי
$\sin\theta = \frac{3}{5}$
$\cos\theta = \frac{2}{7}$
$\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{5}$
$\cos\theta = \frac{3}{7\sqrt{2}}$
$\sin\theta = \frac{5}{3\sqrt{7}}$

שאלה 10: [6%]

המרחק של הנקודה $P=(5,0,0)$ לישר $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{6}$ הוא
$\frac{\sqrt{5}}{2}$
$\frac{7\sqrt{3}}{2}$
$\frac{15\sqrt{5}}{7}$
$\frac{\sqrt{15}}{2\sqrt{2}}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$

שאלה 11: [6%]

מבין הנקודות הבאות במרחב $\mathbb{R}$, מהי הנקודה הכי קרובה למישור $x+2y+2z=0$?
$(1,2,3)$
$(3,2,1)$
$(3,1,2)$
$(1,3,2)$
$(2,1,3)$

שאלה 12: [6%]

נתון הישר $L: \begin{cases}x=2t-1 \\ y=t+2\\ z=1-t\end{cases}$,

ונתון המישור $\pi:\ 3x-2y+z=3$.

איזה מבין הטענות הבאות נכונה?

הישר $L$ מקביל למישור $\pi$ (אין אף נקודה משותפת)
הישר $L$ חותך את המישור $\pi$ בנקודה $(4,6,-2)$
הישר $L$ מוכל בתוך המישור $\pi$
הישר $L$ חותך את המישור $\pi$ בנקודה $(5,5,-2)$
הישר $L$ חותך את המישור $\pi$ בנקודה $(2,-6,2)$

שאלה 13: [6%]

המישור $\pi$ מכיל את הנקודה $P(1,2,3)$ ובנוסף גם מכיל את הישר \[ \begin{cases} x = 3t \\ y = 1+t \\ z = 2-t \end{cases} \] איזה מבין הוקטורים הבאים הוא הוקטור הנורמל למישור $\pi$?
$\vec{i} + 2\vec{j} + \vec{k}$
$\vec{i} - 2\vec{j} + \vec{k}$
$\vec{i} + \vec{k}$
$\vec{i} - 2\vec{j}$
$\vec{i} + 2\vec{j}$

שאלה 14: [12%]

נתונה הפונקציה $f(x,y) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \sqrt{9-x^2-y^2} + \sqrt{x^2+y^2-4}$
ויהי $\cal D$ תחום ההגדרה של הפונקציה.

לגבי כל טענה וטענה אם היא נכונה באופן כללי, סמן $\checkmark$ בריבוע שלצידה.
סימון (או אי-סימון) שגוי עשוי לפגוע בניקוד! בכל מקרה לא יינתן ציון שלילי כולל לשאלה.

התחום $\cal D$ הוא תחום פשוט קשר
התחום $\cal D$ הוא תחום חסום
התחום $\cal D$ הוא תחום פתוח
התחום $\cal D$ הוא תחום קשיר
התחום $\cal D$ הוא תחום חצי-פתוח
התחום $\cal D$ הוא תחום חצי-סגור

שאלה 15: [6%]

נתונה הפונקציה $\quad$ $f(x,y) = \sqrt{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}$

איזה מבין השוויונים הבאים נכון?

$\frac{\partial f}{\partial x} (1,2) = \frac{\partial f}{\partial y} (1,2)$
$\frac{\partial f}{\partial x} (1,2) = 3\frac{\partial f}{\partial y} (1,2)$
$\frac{\partial f}{\partial x} (1,2) = -2\frac{\partial f}{\partial y} (1,2)$
$3\frac{\partial f}{\partial x} (1,2) = -2\frac{\partial f}{\partial y} (1,2)$
כל התשובות האחרות אינן נכונות

שאלה 16: [6%]

יהי $L$ הישר הניצב לפרבולואיד $z=x^2+y^2$ בנקודה $P(2,1,5)$.
הישר $L$ פוגש את הפרבולואיד בנקודה נוספת $(x_2,y_2,z_2)$.
מהו הערך של $z_2$?
$z_2=6.05$
$z_2=5.95$
$z_2=6.25$
$z_2=5.75$
הישר $L$ אינו פוגש את המשטח $z=x^2+y^2$ בנקודה נוספת